1. Introducción: La Superficie de Probabilidad Maestra en Fútbol
En el trading cuantitativo de fútbol, los mercados principales —como 1X2, Más/Menos de goles (Over/Under), Hándicaps Asiáticos y Ambos Equipos Marcan (BTTS)— no son eventos independientes. Todos ellos representan derivados directos de una única distribución estocástica: la matriz de probabilidades de marcador exacto.
Los apostadores recreativos analizan cada mercado por separado. Los sindicatos cuantitativos profesionales operan en sentido inverso: construyen una matriz calibrada de $7 imes 7$ marcadores y derivan las cuotas justas de todos los mercados sumando las regiones de celdas correspondientes.
- Victoria Local (1): suma de celdas donde $i > j$.
- Empate (X): suma de la diagonal donde $i = j$.
- Victoria Visitante (2): suma de celdas donde $i < j$.
- Más de 2.5 Goles: $1.0 - sum_{i+j le 2} P(i, j)$.
- Ambos Marcan (Sí): suma de celdas donde $i ge 1$ y $j ge 1$.
2. Construcción de la Matriz $7 imes 7$
Dadas las intensidades de gol $lambda$ y $mu$, la probabilidad del marcador $(i, j)$ es:
Una matriz de 7 por 7 celdas (desde 0–0 hasta 6–6) abarca más del 99.5% de la masa total de probabilidad, reduciendo el error de truncamiento a niveles despreciables tras normalizar el total.
3. Partición de Mercados Secundarios
Integrando regiones específicas de la matriz se obtienen:
- Línea 1X2: dividida por la diagonal de empate.
- Over/Under 2.5: suma de los seis marcadores con 2 o menos goles ($0-0, 1-0, 0-1, 2-0, 1-1, 0-2$) frente a su complementario.
- Ambos Marcan: probabilidad acumulada de que ambos superen los cero goles: $(1 - e^{-lambda})(1 - e^{-mu})$.
4. Ajuste de Dixon-Coles
Las celdas de marcadores bajos (0-0, 1-0, 0-1, 1-1) se corrigen mediante el parámetro $ au_{i,j}$ de Dixon y Coles (1997), ajustando las probabilidades de empate para reflejar la correlación táctica real del fútbol.
5. Ejemplo Práctico: Manchester City vs. Newcastle
Con $lambda = 2.15$ y $mu = 0.85$, las cuotas justas obtenidas son: Local 1.51 (66.2%), Empate 5.10 (19.6%), Visitante 7.04 (14.2%) y Over 2.5 a 1.73 (57.7%).
6. Implementación en Python
El código incluido en la versión en inglés implementa la clase en Python con NumPy para generar la matriz y extraer todas las cuotas de forma instantánea.
7. Preguntas Frecuentes
Estabilidad Numérica y Normalización de Fronteras de la Matriz
Durante la generación de matrices bivariadas de Poisson, la precisión de coma flotante resulta determinante para evaluar marcadores atípicos de alta anotación (como 6-5 o 5-4). En entornos de trading algorítmico, el cálculo se implementa en espacio logarítmico: $ln P(i, j) = i ln lambda - lambda - ln(i!) + j ln mu - mu - ln(j!)$. La posterior exponenciación evita errores de subdesbordamiento aritmético (underflow). La normalización final de la matriz de 7x7 dividiendo cada elemento por la suma acumulada garantiza que la probabilidad total sea exactamente de 1.00000, asegurando la consistencia estricta de no-arbitraje en todas las cuotas derivadas.
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